中高考特征方程，特征根方程求通项公式

在漫长的求学路上，中高考无疑是每个学子心中的一道坎。而在这道坎中，数学更是让人头疼不已。就让我们一起来揭秘中高考数学中的神秘力量——特征方程。

一、特征方程的起源

特征方程，顾名思义，就是具有特定特征的方程。在数学中，特征方程广泛应用于线性微分方程、线性代数等领域。而在中高考数学中，特征方程主要应用于解线性方程组、求解矩阵特征值等问题。

二、特征方程在中高考数学中的应用

1. 解线性方程组

线性方程组是中高考数学中的常见题型。通过特征方程，我们可以将线性方程组转化为矩阵特征值问题，从而简化计算过程。

例题：

已知线性方程组：

""[

""begin{cases}

x + 2y + 3z = 6 """"

2x + 4y + 6z = 12 """"

3x + 6y + 9z = 18

""end{cases}

""]

求解该方程组。

解题步骤：

（1）将方程组转化为增广矩阵：

""[

""begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 6 """"

2 & 4 & 6 & | & 12 """"

3 & 6 & 9 & | & 18

""end{bmatrix}

""]

（2）对增广矩阵进行行变换，化为行阶梯形矩阵：

""[

""begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 6 """"

0 & 0 & 0 & | & 0 """"

0 & 0 & 0 & | & 0

""end{bmatrix}

""]

（3）根据行阶梯形矩阵，得到方程组的解为：

""[

""begin{cases}

x = 2 """"

y = 0 """"

z = 0

""end{cases}

""]

2. 求解矩阵特征值

矩阵特征值是线性代数中的核心概念。通过特征方程，我们可以求解矩阵的特征值，进而求解矩阵的其他性质。

例题：

已知矩阵 ""(A = ""begin{bmatrix} 1 & 2 """" 3 & 4 ""end{bmatrix}"")，求解矩阵 ""(A"") 的特征值。

解题步骤：

（1）根据特征方程的定义，设 ""(A"") 的特征值为 ""(""lambda"")，则有：

""[

""det(A - ""lambda E) = 0

""]

（2）将矩阵 ""(A"") 代入上式，得到特征方程：

""[

""begin{vmatrix}

1 - ""lambda & 2 """"

3 & 4 - ""lambda

""end{vmatrix} = 0

""]

（3）计算行列式，得到特征方程：

""[

(1 - ""lambda)(4 - ""lambda) - 6 = 0

""]

（4）解特征方程，得到矩阵 ""(A"") 的特征值为 ""(""lambda_1 = 2"") 和 ""(""lambda_2 = 5"")。

三、特征方程的解题技巧

1. 熟练掌握特征方程的定义和性质；

2. 熟练运用矩阵运算和行列式计算；

3. 灵活运用行变换和初等变换；

4. 注重观察题目中的隐含条件，如对称性、奇偶性等。

特征方程是中高考数学中的关键知识点，掌握好特征方程，对于解决线性方程组、求解矩阵特征值等问题具有重要意义。希望本文能帮助大家更好地理解特征方程，在中高考中取得优异成绩。

表格：

相信大家对中高考特征方程有了更深入的了解。在今后的学习中，希望大家能够熟练掌握特征方程，将其运用到实际问题中，为自己的数学之路添砖加瓦。

特征根方程求通项公式

（一）、拆分变换

形如an+1=can+d（其中c,d为常数,且c 0, c 1）的递推式,可将其拆分后转化成=c的等比数列{bn}来解.

例1．已知数列{an}满足a1=2, an+1=3an+2求an

分析：由于an+1与an是线性关系,由式子an+1=can+d可联想到直线方程的斜截式y=cx+d,它应当可以化为点斜式,而c 1,则直线y=cx+d与直线y=x必有一交点,设为（t, t）

an+1=3an+2可设为an+1－t=3(an－t)

可得an+1=3an－2t,t=－1

得到=3即{an+1}是以a1+1=3为首项,q=3为公比的等比数列

an+1=3·3n-1=3n故an=3n－1

（二）、运用待定系数法或换元法进行变换

形如an+1=can+d(n)（其中c,d为常数,且c 0, c 1,d(n)为n的函数）的递推式,可用待定系数法或换元法转化成等比数列.

1）若d(n)为n的一次函数,可采用待定系数法

例2．已知a1=2, an+1=4an+3n+1求an

分析：与上述情形作比较,发现常数d变成了一次函数d(n),可考虑用一个辅助数列{bn},使{bn}成为等比数列.

（用待定系数法）设bn=an－(Bn+C),则

an=bn+(Bn+C)(其中B,C为待定常数)

由an+1=4an+3n+1可得

bn+1+B(n+1)+C=4(bn+Bn+C)+3n+1

即bn+1= 4bn+（3B+C）n+(3C－B+1)

令3B+C=0,3C－B+1=0可得

B=－1,C=－

这样,bn+1= 4bn即数列{bn}是公比为4,首项为b1=a1－(B+C)=的等比数列,∴bn=·4n-1

故an=·4n-1＋[（－1）n－ ]=(22n+1－3n－2)

特别地,形如an+1=can+d(n)的情形中,当c=1时变为an+1=an+d(n),即

an+1－an=d(n),对于这类问题一般采用“累差法”解决；相应地,=q(n),则采用“累积法”

例3．在数列{an}中,a1=－3, an+1=an+2n求an

分析：an+1=an+2n即an+1－an=2n比较等差数列,我们称之为变差数列,一般可采用“累差法”.

由an+1=an+2n即an+1－an=2n,可得

an－an-1=2（n－1）,an-1－an-2=2（n－2）… a2－a1=2

将上述各式相加,得

（an－an-1）+（ an-1－an-2）+…+（a2－a1）=n(n－1)

即：an－a1= n(n－1)an= n2－n－3（当n=1时也成立）

2）若d(n)形如Pam（P为非零常数,m N）,可采用换元法

例4．在数列{an}中,a1=1, an+1=3an+2n求an

由an+1=3an+2n可得

2·=3·+1令bn=则

bn+1= bn+,类似于拆分变换,上式两边同加上1,得

bn+1+1=（bn+1）

{bn+1}是以b1+1=+1=为首项,公比为的等比数列

bn+1=（ b1+1）·（）n-1=()nbn=()n－1

an=2n·bn=3n－2n

（三）、倒数变换

形如an+1·an=can+1+dan（其中c、d为不等于零的常数）的递推式,可令

bn+1=,bn=则可转化为等差数列或拆分变换的情形

例5．在数列{an}中,若a1=2, an+1=,求an

分析：将an+1=去分母得

an+1·an=－3an+1+an形如an+1·an=can+1+dan,故可采用“倒数变换”

由an+1=可得=+1

设bn=,则上式可变为：bn+1=3bn+1,即为拆分变换情形

令bn+1+t=3(bn+t)即bn+1=3bn+2t,t=

故{bn+}是首项为+=1,公比为3的等比数列,

bn+= 3n-1bn=3n-1－an=(当n=1时也成立)

（四）、对数变换

对形如an+1=Panm(P为非零常数,m N且m>1),可利用对数的运算法则,将积、商、幂的形式转化成和、差、倍的形式,从而构成新的等差或等比数列

例6．已知数列{an}满足a1=2, an+1=an2,求an

分析：由于出现幂的形式an2,故可考虑取对数使之转化为积的形式

a1=2, an+1=an2>0

对an+1=an2的两边取以10为底的对数,得

lg an+1=2lgan=2

即数列{lgan}是一个首项为lg2,公比为2的等比数列

lgan=（lg2）·2n-1故an=

(五)特征根法

对形如an+2=αan+1+βan(其中α、β为非零常数)的线性齐次递推式,若已知a1=c1, a2=c2,可先求出其特征方程x2－αx－β=0的特征根x1、x2

若方程x2－αx－β=0有两个不同的特征根x1、x2,则可设

an=λ1x1n+λ2x2n,由a1、a2求出λ1、λ2,即可求得an

若方程x2－αx－β=0有两个相同的特征根x,则可设an=（λ1+nλ2）xn,类似地,也可求得an

例7．已知数列{an}中,a1=0,a2=2, a3=6,且an+3=2an+2+an+1－2an,求an

分析：由于形如an+2=αan+1+βan,可先求出其特征方程的特征根.

由特征方程x3=2x2+x－2解得：x1=2,x2=1,x3=－1

设an=λ12n+λ2+λ3(－1)n

由

解得

an=2n－2

特别地,当=1时,可得an+2= an+1+ an若a1=1,a2=1,便是著名的斐波那契数列.

（六）、构造法

例8．已知数列{an}中,a1=1,a2=1,且an+2=an+1+an,求an

分析：对于斐波那契数列,用特征根法显然可以求解,但这里介绍一种构造法,即构造一个新的数列{an+1－tan}求解

设新数列的第n项为an+1－tan,则第n+1项为an+2－tan+1

设 an+2－tan+1=（1－t）（an+1－tan）

则 an+2=an+1－（1－t）tan

令－（1－t）t=1得 t2－t－1=0,

解得：t1=,t2=.

所以an+2－t1an+1=（1－t1）（an+1－t1an）①

an+2－t2an+1=（1－t2）（an+1－t2an）②

由①式得

an+1－t1an=（a2－t1a1）（1－t1）n-1

由②式得

an+1－t2an=（a2－t2a1）（1－t2）n-1

两式相减,可得

（t2－t1）an=（a2－t1a1）（1－t1）n-1－（a2－t2a1）（1－t2）n-1

即可得－an=（）n－()n

故 an= [（）n－()n ].

(七)迭代变换

形如an+1=can+d(n)或=q(n)（其中c,d为常数,且c 0, d(n)、q(n)分别为n的函数）的递推式,也可以考虑用迭代变换

例9（2002全国高考卷第22题）

设数列{an}满足an+1=an2－nan+1,n=1,2,3…,

(I)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式；

（II）当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有

（i）an≥n+2；

(ii)++…+≤

分析：本题第（II）小题较难,对（II）（i）可用数学归纳法,但对(ii)学生首先想到放缩法、构造法或者数学归纳法.这里介绍一种迭代技巧.

(ii)由an+1=an（an－n）+1及an≥n+2可知

ak=ak-1(ak-1-k+1)+1

≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,…

可得：ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1

故≤·,k≥2

++…+≤+≤≤=

全国卷高中数学高考题解答方法

高考，不仅是对知识的检阅，也是对考生心态的一种考验。同学们只要放松心情，保持好心态，一定能考出好成绩。这次我给大家整理了全国卷高中数学高考题解答方法，供大家阅读参考。

目录

全国卷高中数学高考题解答方法

高考数学填空题答题技巧

高考数学解答题技巧

全国卷高中数学高考题解答方法

1、小题不能大做;

2、不要不管选项;

3、能定性分析就不要定量计算;

4、能特值法就不要常规计算;

5、能间接解就不要直接解;

6、能排除的先排除缩小选择范围;

7、分析计算一半后直接选选项;

8、三个相似选相似。可以利用简便方法进行答题。

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高考数学填空题答题技巧

1、直接法：这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

2、特殊化法：当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

5、图像法：借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

6、构造法：在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

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高考数学解答题技巧

1、三角变换与三角函数的性质问题

解题方法：①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h;④结合性质求解。

答题步骤：

①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

2、解三角形问题

解题方法：

(1)①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2)①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

答题步骤：

①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

3、数列的通项、求和问题

解题方法：①先求某一项，或者找到数列的关系式;②求通项公式;③求数列和通式。

答题步骤：

①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

4、离散型随机变量的均值与方差

解题思路：

(1)①标记;②对分解;③计算概率。

(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。

答题步骤：

①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

②定性：明确每个随机变量取值所对应的。

③定型：确定的概率模型和计算公式。

④计算：计算随机变量取每一个值的概率。

⑤列表：列出分布列。

⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。

5、圆锥曲线中的范围问题

解题思路;①设方程;②解系数;③得结论。

答题步骤：

①提关系：从题设条件中提取不等关系式。

②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。

③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。

6、解析几何中的探索性问题

解题思路：①一般先假设这种情况成立(点存在、直线存在、位置关系存在等);②将上面的假设代入已知条件求解;③得出结论。

答题步骤：

①先假定：假设结论成立。

②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。

③下若推出合理结果，经验证成立则肯。定假设;若推出矛盾则否定假设。

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线性回归方程在高考中如何考察

线性回归方程属于高中数学必修三，第二章，统计，属于回归分析，主要是介绍变量间的相互关系。

线性回归方程在全国卷是必考题，另外江苏，浙江，天津以及北京也会考线性规划。把公式的X、Y弄明白，然后在做相关的练习，这样做就会很快明白了。

线性回归方程的作用：

机器学习中常常用来解决相关性分析的问题，这里我们建立一个简单的数据集，这个数据集是关于学习时间和所得分数的相关性分析。机器学习的本质其实就是通过训练集建立一个模型，而后可以通过这个模型实现对于特征的识别，得出结果标签，而这个模型可以是多种多样的，简单线性回归模型只是其中的最基础最简单的一种模型。